加法定理習ってないなら忘れていいよ
混乱の元になるだけな気がしてならない

んで教科書最初っから読み直した方がいい
そうすりゃいくらsin170゜=sin10゜だからといって
sin(10゜+170゜)=sin(10゜+10゜)とか馬鹿げたはしなくて済む

解法1
sin10゜=sin170゜, cos170゜=-cos10゜を使って与式の第一項を変形すると
sin10゜cos170゜＋sin170゜cos10゜=-sin170゜cos10゜+sin170゜cos10゜=0

解法2
加法定理より
sin10゜cos170゜＋sin170゜cos10゜=sin(10゜+170゜)=sin180゜=0