>>358です。>>359さんに言われて自分で考えました。
間違いなどがあればご指摘お願いします。
問題無かったら不要な日本語を削除して短くまとめるつもりです。
（証明慣れしてなくていちいち日本語書かないと自分で何をしたいのか、してるのかが
わからなくなってしまうんです））

正規空間はT1とT4を満たすもので定義されているから、
正規空間がT1を満たすのは明らか。T3.5を満たすことを示す。
Aを正規空間Xの任意の閉集合でx0∈X?A とします。XはT1 空間だから{x0} は閉集合である。ウリゾーンの補題(多分これの証明は出来無いですね…汗)
によりT3.5を満たすfが存在する。
よって正規空間は完全正則空間である。

完全正則⇒正則
完全正則空間の定義よりT1公理を満たす。
完全正則ならばT3を満たすことを示せばよい。

T3⇔X⊃∀x、xを含まない任意の閉集合Fに対し、x∈∃U:open、∃V:open⊃FでU∩V=φ

T3.5よりx0をXの任意の閉集合Aに含まれない点であり、
このときx∈U:openに対して∃V:open⊃A
この時U∩V=φ
よって完全正則⇒正則が成り立つ。