{Aλ}λ∈Λ⊂2^Xは位相空間Xの部分集合族とする。
このとき次の式が成立することを示し、かつ等号が成立しない例を挙げよ。
※clAはAの閉包を意味します。

(1)cl｛∪(λ∈Λ)Aλ｝⊃∪(λ∈Λ)clAλ
(2)cl｛∩(λ∈Λ)Aλ｝⊃∩(λ∈Λ)clAλ

(1)の証明
x∈∪(λ∈Λ)clAλとすると、∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから
xの任意の近傍はAλと交わることが分かり、
したがってxの近傍はAλよりも大きい集合 ∪(λ∈Λ) Aλ とも交わるので、
xは∪(λ∈Λ) Aλの閉包の点になる。

(2)の証明
x∈cl(∩(λ∈Λ)Aλ) とすると
xの任意の近傍は∩(λ∈Λ)Aλと交わるので
∩(λ∈Λ)Aλより大きい集合Aλとも交わる。
したがってx∈clAλとなる。

ただ(1)は等号が成立すると思うのですが…。
証明出来たのですが…。

x∈cl｛∪(λ∈Λ)Aλ｝をとる。xの任意の近傍Uに対し、U∩∪(λ∈Λ)Aλ≠φ。
よって∃λ　s.t.　U∩Aλ≠φ。よってx∈clAλ。
よってx∈∪(λ∈Λ)clAλとなり、cl｛∪(λ∈Λ)Aλ｝⊂∪(λ∈Λ)clAλ

(2)の例としてはA1=(0,1),A2=(2,3)でOKなのでしょうか？
それもまた証明が必要ならどのように証明すればいいのでしょうか？