問題：xy' = y + √(x^2 - y^2)

両辺をxで割ってu=(y/x)とし，
y' = u + √(1 - u^2)

y=uxでありy' = x(du/dx) + uであるから，
y' = u + √(1 - u^2) = x(du/dx) + u
{1/√(1 - u^2) }(du/dx) = 1/x

両辺をxで積分し，
arcsin(u) = ln(x) + C

A=exp(C)とおいて
u = sin{ ln(Ax) } = y/x

∴y = x sin{ ln(Ax) }

としたんですが，教科書の解答では
y + √(y^2 + x^2) = Cx^2

となってました．
解答の導き方と，私の解答の正否を教えてください．お願いします．