>>333
直接示すのもいい、結局ε-δの翻訳みたいなもんだから
例えばf+gが連続を示すには、(f+g)(x)の任意の近傍Nに対して
逆像(f+g)^(-1)(N)がxの近傍になればいい
Nは区間の和集合で近傍の定義を考えればN=(a, b)という開区間の
場合に考えれば十分、p=f(x)+g(x)とおく
N_f=(f(x)-(p+a)/2, f(x)+(p+b)/2)、N_g=(g(x)-(p+a)/2, g(x)+(p+b)/2) という開区間は
それぞれf(x)、g(x)の近傍なので連続の仮定からf^(-1)(N_f)とg^(-1)(N_g)は
xの近傍となり、f^(-1)(N_f)∩g^(-1)(N_g)もxの近傍となる
f^(-1)(N_f)∩g^(-1)(N_g)⊂(f+g)^(-1)(N)より(f+g)^(-1)(N)もxの近傍

(3)は例えばf(x)=x/(1+|x|)はRと(-1, 1)との同相写像