>>323　>>320-321
なるほど。王道ですが挟み撃ちで十分示せますね！自分なりにも改めて解答を整理してみました。
f(x)=1/(1+x^2)とおくと
(1/n)納k=1,n^2]f(k/n)＜∫[1,n]f(x)dx　（下からの区分求積）
∫[1,n]f(x)dx＜(1/n)納k=0,n^2]f(k/n)　（上からの区分求積）
（狽ﾌ開始点k=0とk=1に注意)
ここで(1/n)納k=0,n^2]f(k/n)＝(1/n)納k=1,n^2]f(k/n)+(1/n)なので２式を整理して
∫[1,n]f(x)dx-(1/n)＜(1/n)納k=1,n^2]f(k/n)＜∫[1,n]f(x)dx
とできる。両辺のn→∞の極限をとって（以下略
これなら誤魔化しを使わずにいけますね。
arctan知らなくても、x=tanθの置換でもOKですよ。

どうやらf(x)が単調減少、単調増加であれば同様の方法が使えそうです。
すぐに力になれなくてすみません。また質問があったらどうぞ。