あーもー
十分大きな整数nに対してn^2>inとなるようにiを取れて

Σ_(k=1,n^2)_{n/(n^2+k^2)}>Σ_(k=1,in)_{n/(n^2+k^2)}（足されてる各項は正だから）
右辺のn→∞での極限はarctan(i)
n→∞のとき，それに伴ってiもいくらでも大きく取れるから，右辺の極限はいくらでも
大きくできる，よって左辺の極限も∞

言っておくが俺は
lim[n→∞](1/n)納k=1,n^2]f(k/n)
＝lim[i→∞]lim[n→∞](1/n)納k=1,in]f(k/n)
が任意のfに対して成立するとは「一言も」言っていないぞ

なんか嘘があったら遠慮なく突っ込んでくれ
俺も勉強させてもらうよ