リーマン積分の定義について質問です。
[a,b]上の関数f、分割Δ：a=x[0]<x[1]<…<x[n]=b、代表点の選び方ｔ：x[k-1]<t[k]<[k]に対して
S(f,Δ,ｔ)＝納k=1,n]f(t[k])(x[k]-x[k-1])
とおくとき、分割Δと代表点の選び方ｔによらず、極限値
S＝lim[d(Δ)→0]S(ｆ,Δ,ｔ)
が存在する時S＝∫[a,b]f(x)dxと定める
（ただしd(Δ)＝max[k=1,n](x[k]-x[k-1])）
と一般的には書かれています。
ところで、ここで登場する「lim」の用法にちょっと違和感があります。
論理記号で書くと
(∃S∈R)(∀ε＞0)（∃δ＞0）(∀Δ)（∀ｔ）(|d(δ)|＜ε⇒|S(f,Δ,ｔ)-S|＜ε)
となるのでしょうが、S(f,Δ,ｔ)自信はd(Δ)の関数で無いのに
lim[d(Δ)→0]という書き方はどうなのでしょう？