>>105
最初に書くべきだったんですが、一応、私が途中まで考えた方法を書いときます。
(すごく単純な考え方しかできませんでしたが・・・)

　　　　a_n=1/1+1/2+1/3+…1/n
の両辺にn!を掛けて、
　　　　n!a_n=n!+n!/2+n!/3+…n!/n
⇔ a_n=(n!+n!/2+n!/3+…n!/n)/n!
となるので、分子と分母のそれぞれの2の素因数の個数を比べようとしました。
分母については分かったんですが、分子について考えているうちに行き詰ってしまいました。