>87さん
まだ見てるかな？
数学的帰納で証明。

n-1のときは・・・
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/(n-1)をb(n-1)/a(n-1)と書くことにする。
ここで、a(n-1)は偶数と仮定すると、b(n-1)は奇数でなければならない、だって約分できるからね

b(n-1)/a(n-1)+1/n={b(n-1)*n+a(n-1)}/a(n-1)*n
ここで、
①nが奇数ならば、b(n-1)*n+a(n-1)は奇数*奇数+偶数=奇数、a(n-1)*n=偶数*奇数で偶数数なので
奇数/偶数になる
②nが偶数のとき、b(n-1)*n+a(n-1)は奇数*偶数+偶数で偶数、a(n-1)*nは偶数*偶数で4の倍数
ここで、n=2φ,a(n-1)=2ψとすると
b(n-1)*n+a(n-1)/a(n-1)*n=
φ*b(n-1)+ψ/2φψ

ここで、φが奇数、ψが偶数、もしくはφ偶数、ψ奇数とすると①と同じ議論で奇数/偶数で終わり
さらにφも偶数、ψも偶数とするとさらにφ=2なんちゃら、ψ=2なんちゃらって
やっていくとそのうちψのほう(a(n-1)=2ψとした)はかならず2なんちゃらとおけなくなって(だってa(n-1)は2の累乗ではないことは明らか)
最終的に偶数/奇数になる

するとb(n-1)/a(n-1)を奇数/偶数と仮定するとb(n-1)/a(n-1)+1/nも何度か約分した結果必ず奇数/偶数になる
これで終わり