>>977
lim[n→∞] (a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n))=c より
∀ε>0 ∃N s.t ∀n>=N -ε< (a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n))-c <ε
i.e. -ε(b(n+1)-b(n))<a(n+1)-a(n)-c(b(n+1)-b(n))<ε(b(n+1)-b(n)) (∵b(n+1)-b(n)>0)
辺々nまでの和をとると
-ε(b(n+1)-b(N))<a(n+1)-a(N)-c(b(n+1)-b(N))<ε(b(n+1)-b(N))
i.e. -ε+εb(N)/b(n+1)+c(b(N)/b(n+1))<a(n+1)/b(n+1)-c<ε-εb(N)/b(n+1)+c(b(N)/b(n+1)) (∵b(n+1)>0)
lim[n→∞]b(n)=+∞と併せて
-ε<=liminf[ｎ→∞]a(n+1)/b(n+1)-c<=limsup[n→∞]a(n+1)/b(n+1)-c<=ε
ε>0の任意性より
liminf[ｎ→∞]a(n+1)/b(n+1)-c=limsup[ｎ→∞]a(n+1)/b(n+1)-c=0
∴lim[n→∞]a(n)/b(n)=c