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合成関数の微分を使おうよ
偏微分ってのは、yを定数とみてxを微分することだよ

v=arctan(y/x)で
アークタンを微分すると1/1+x^2だけど
アークタン=1/1+x^2じゃないよ

v(x,y) = 1 / ( 1 + (y^2)/(x^2) ) = x^2 / (x^2 + y^2)
これがおかしい。
アークタンx=1/1+x^2と勘違いしてる