多項式x^3-3x-1は有理数の範囲で既約であることを証明せよ
という問題で解答には以下のように書いてあります。
可約とすると、少なくとも一つの因子は１次である。そこで
有理数α=q/p,(p,q)=1が与えられた多項式の零点になると
すると、これを代入し、整理して q(q^2-3p^2)=p^3を得る。
(p,q)=1だから、このことよりp=±1を得る。つまりαは整数
である。したがってα=±1でなければならないが、代入に
よってこれは矛盾である。と書いてあるのですが、「(p,q)=1
だから、このことよりp=±1を得る」という部分と「したがって
α=±1でなければならない」という部分がよく分かりません。
どなたかご教授して下さい。よろしくお願いします。