f(x),g(x)が共に微分可能であるとき、合成関数 f(g(x))の導関数は dy/dx=(dy/du)*(du/dx)というように
計算できることは知っていますが、導関数の定義に従って計算してみようと、lim[h→0]{f(g(x+h))-f(g(x))}/hを考えてみました。

しかし、このままではどうにもならなかったので、g(x)=u, g(x+h)=u+kとおいて、f(g(x+h))-f(g(x))=f(u+k)-f(u)としてみました。
すると、k=g(x+h)-g(x)で、h→0のときk=g(x+h)-g(x)→0となるので

1:　lim[h→0]{f(g(x+h))-f(g(x))}/h
2:　={f(u+k)-f(u)/k}*(k/h)
3:　=lim[k→0]{f(u+k)-f(u)/k}*lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h
4:　=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))*g'(x)

と求めることができたのですが、特に2行目,3行目の変形を無条件に行えるかというところに疑問を感じます。
これは合成関数の導関数を求める証明になるんでしょうか？