>>167-168

平均値の定理より
　U_x(x_0) = {U(1)-U(-1)}/{1-(-1)} =0,　-1<x_0<1.
なる x_0 がある。
U_x >0 の側では　U_x = 1 - exp((x-x_0)/ε),
U_x <0 の側では　U_x = exp((x_0-x)/ε) - 1,

x_0 で U(x) と U_x が連続であることと U(-1)=U(1)=0 から
　sinh(x_0/ε) = exp(1/ε) * (x_0/ε).
ここで x_0≠0 とすると
　f(x_0) = sinh(x_0/ε)/(x_0/ε) = exp(1/ε).
f(x) は|x| について単調増加、|x_0| <1 だから
　f(x_0) < f(1) = ε･sinh(1/ε) < (ε/2)exp(1/ε).
∴ x_0 =0 に限る。
　U(x) =　|x| -ε･exp( |x|/ε) -1 +ε･exp( 1/ε),
　U(x) = -|x| -ε･exp(-|x|/ε) +1 +ε･exp(-1/ε).