y=(x^2-1)^nとおく。
このとき、(x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)=0 ・・・①
を示せ。ただし、y^(n)はyのn次導関数とする。
という問題で数学的帰納法を使って解こうとしたのですが

n=1のとき成り立つ

n=kのとき成り立つとすると
(x^2-1)y^(k+2)+2xy^(k+1)-k(k+1)y^(k)=0　・・・②
この両辺を微分してn=k+1のときも成り立つことを証明しようと
しましたが、
(x^2-1)y^(k+3)+4xy^(k+2)-(k+1)(k-2)y^(k+1)=0　・・・③
となって、①のnをk+1にした次の式を導けません。
(x^2-1)y^(k+3)+2xy^(k+2)-(k+1)(k+2)y^(k+1)=0　・・・④
もし、③と④が同じであれば、
2xy^(k+2)-(k+1)(k-2)y^(k+1)=-(k+1)(k+2)y^(k+1)
が成り立たねばなりませんが、これはK=2のときを具体的に計算すると
成り立ちません。
この手の問題は上のやり方で簡単に証明できますが、上記問題はできません。
他に証明する方法はありますでしょうか？