証明してみたのですが、自信がありません。
突っ込んでください。

def.
xがpositiveであるとは、
∃n∈Ｎ，∃m(2n) s.t.∀k≧m(n):xk≧1/2n　　・・・①
xがnegativeであるとは、
∃n∈Ｎ，∃m(2n) s.t.∀k≧m(n):-xk≧1/2n　・・・②

命題"Every real number is positive or negative or zero．"
証明
任意のx∈Rに対して、x={xn}とする．ただし、{xn}は有理コーシー列とする．
命題と次のことは同値である．
x is nor zero→x is positive or negative
背理法で証明する．
x is positive and negative
であると仮定する．すなわち、①∧②であると仮定する．
xk+(-xk)≧1/2n+1/2n
⇔0≧1/n
矛盾する．よって、①∨②でなくてはならない．
以上より命題が証明された．　　　　　　　（証終）