無理やり複素数の範囲で因数分解して部分分数分解するとこうなりました。

I=∫[x=0,2π](（5+4cosθ)^-1)dθ
=2∫[t=0,∞]((t^2+9)^-1)dt
=2∫[t=0,∞](((t-3i)(t+3i))^1)dt
=1/3i∫[t=0,∞]((1/(t-3i))-(1/(t+3i))dt
=1/3i∫[t=0,∞][log(|t-3i|/|t+3i|)dt
=1/3i(log1-log1)
=0