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分からない問題はここに書いてね２６５

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2006/11/17(金) 09:47:01
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね２６４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/
0503１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:28:00
7箱で66個
0504１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:36:10
解析の問題です。よろしくお願いします。
a1(x),a2(x) : I=[0,1]で連続
y(x):次の解
y''+a1(x)y'+a2(x)y=0
y(0)=0,y'(0)=0
⇒y(x)=0を証明
0505１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:36:24
7箱で54個だがや
0506１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:37:18
>>503どんな計算で答え出ましたか？
方程式作って答えなきゃいけないんですが…
0507１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:38:55
>>505
10個入れても12個入れても箱にぴったり入らない"あまり"が
6個でているわけだから、54はありえない。
少なくとも、10と12の公倍数+6出ないと解にならないだろう。
0508１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:39:24
いやいや10箱で106だがや
0509１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:41:46
>>506
箱が全部でx箱あるとする。
10個ずつ詰めた場合、
10個入った箱が[　]箱、その中の石鹸が[　]個
6個入った箱が[　]箱、その中の石鹸が[　]個
合計[　]個の石鹸がある。

12個ずつ詰めた場合、
12個入った箱が[　]箱、その石鹸が[　]個
6個入った箱が[　]箱、その石鹸が[　]個
合計[　]個の石鹸

これが等しい
0510１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:44:26
案外、変数2つ使って連立にしたほうが理解しやすかったりしてね
0511１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 21:51:45
a＞0とする｡x≧1の範囲でlog{ｅ}x/x^aの最大値を求めよ。
お願いします
0512１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:04:46
f(x)=log(x)/x^a、f'(x)=x^(a-1)*{1-a*log(x)}/x^(2a)、x^(a-1)＞0、1-a*log(x)=0 ⇔ x=e^(1/a)で最大値をとるから
f(e^(1/a))=1/(ae)
0513１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:12:10
a1＝1と
a[n＋1]＝3an－n（n＝1、2、3、．．．）によって定義される数列｛an｝について。
【問題】pとqを定数とする。数列｛bn｝をbn＝an＋pn＋qによって定めると、｛bn｝は公比3の等比数列になるとする。このとき定数p、qの値を求めよ。お願いします。
0514１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:12:38
1～1000の中に、３・５・７のすべてで割り切れる数は何個ありますか？
0515１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:18:28
Ａの箱にはカセットが５個、Ｂの箱には１０個、Ｃの箱には２０個入っています。
そのうち、Ａには不良品が２個、Ｂには不良品が２個、Ｃには不良品が８個入っています。
では、Ａ、Ｂ、Ｃからそれぞれ１個ずつカセットを取り出した場合、すべて正常なものを取り出す確率はいくつか？
0516１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:18:42
>>514
[1000/3]+[1000/5]+[1000/7]-([1000/(3*5)]+[1000/(3*7)]+[1000/(5*7)])+[1000/(3*5*7)]
=333+200+142-(66+47+28)+9=543個
0517１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:19:40
>>515
(3/5)(8/10)(12/20)
0518１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:20:36
>>514
訂正；[1000/(3*5*7)]=9個
05194782006/11/21(火) 22:26:19
>>483
>>490
石の数が指定されてない、というところにポイントがあるわけですね。
なんとなくわかりました。ありがとうございました。
0520１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:28:52
∫log{e}{sin^(2)x}/(tanx)dx
お願いします
0521１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:29:40
「任意の四面体に対して、外接球半径・内接球半径・体積が全て等しい等面四面体が存在する」
は正しいか否か？

という問題を考えてるんだけど、これってすぐわかる反例ってありますか？
0522１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:37:20
文章の意味がわからない
例えば、一辺の長さ１の正四面体に対する等面四面体って何？
0523１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:38:49
>>513
a_n=b_n-pn-qをa_(n＋1)＝3a_n－nに代入して整理すると
b_(n+1)=3b_n-(2p+1)n+(p-2q)
bnは公比3の等比数列なのでb_(n+1)=3b_nとなることから
2p+1=0,p-2q=0
∴p=-1/2,q=-1/4
0524１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:45:29
>>521
等面四面体ってまるっきり同じものってことじゃないのか？
存在するに決まってるが。
0525１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:45:51
>>520
∫log{sin^2(x)}/(tanx)dx、log{sin^2(x)}=t とおくと、dx=tan(x)/2 dt より、
∫log{sin^(2)x}/(tanx)dx=(1/2)∫t dt=t^2+C=(1/4)*{log{sin^2(x)}}^2+C
0526１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:47:01
>>521
なんか、反例あるっぽい。勘だけど
05275212006/11/21(火) 22:47:36
>>522
等面四面体に対しては明らかでいいんだけど、たとえば
ある四面体の外接球半径、内接球半径、体積がそれぞれR、ｒ、Vだったとして
同じくR、ｒ、Vとなるような等面四面体は必ず存在するのかどうか
ということを言いたかった。わかりにくくてｽﾏｿ
0528１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:48:57
log{e}2＝1－1/2＋1/3－1/4＋……＋(－1)^(k－1)*1/(k)＋…を示せ｡
お願いします｡
0529１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:50:51
log(1+e)にマクローリン音頭
0530１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:51:22
log(1+x)　でした
0531１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:52:27
>>528
積分
0532１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:54:07
アーベルの定理
0533１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 22:57:44
アッーベルの定理
0534１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:05:14
水筒にはいっている水を、最初に兄が80ｍℓ飲み、次に弟が残りの4/1を
飲んだ。二人が飲んだ後の水筒の中の水の量を調べたところ、
はじめにあった量のりょうど3/2であった。
この水筒には、はじめ何ｍℓの水がはいっていましたか。


まったくわからないのですが。
答えみてもわからないのですが。
なぜ4/3とかになるのかがわかりません。
誰か詳しく教えてください
0535１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:07:16
>>534
たぶんこっちに行ったほうがいい
小・中学生のためのスレ　Part 18
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159830000/
0536１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:08:00
増えてるｗ
0537１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:10:26
>>534
分数の書き方がちがう
４分の１の書き方は１/４
0538１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:11:37
>>527
外接球のすごい端っこに偏った四面体を考えてみる。
その四面体と外接球半径、内接球半径が等しい等面四面体を考えると、
体積はずっと大きくなっちゃうんじゃないだろうか？
0539１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:13:59
>>538
そうかな……イメージ的には平べったい四面体が浮かんでくるんだけど。
実際、証明作ってみないと何とも言えないよな。
0540１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:16:12
思うに、等面四面体って、外接球の半径と内接球の半径が分かれば、そこから体積が求まるんじゃないか？
求まらないかな……なんか、求まりそうな予感。

んで、この予感が正しいとして、普通の四面体で外接球と内接球の半径がわかっても
体積が分からないのであれば、答えは分かるわけだが。

この方針でいけない？
05415382006/11/21(火) 23:18:27
ってか、
> その四面体と外接球半径、内接球半径が等しい等面四面体
こんな等面四面体って作れるか？
0542１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:19:23
ああ、作れるか(T_T)
0543１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:19:49
sin(wt)とcos(wt)のZ変換を求めなさいという問題なのですが、これってきれいな数式になりますか？
定義に従うと、以下のようになると思うのですが、これ以上簡単になるのでしょうか？

http://ec.uuhp.com/~physics2/cgi-bin/upload250/NeoKiffg/math.gif
0544１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:22:31
>>540
俺も思った

で，等面4面体の外接球の中心と内接球の中心って両方重心・・・かな？
0545１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:40:51
>>544
んだ。等面四面体の内心、外心、重心は一致する。
0546１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:41:35
>>543
Z変換って何なのか知らないけど
cos(wt)=Re(e^(iwt))とか使ったらどう？
0547１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:57:18
>>521,527

等面4面体の対稜の中点を結ぶ3線は互いに直交するので、それらをx,y,z方向にとる。
各稜はx,y,zのいずれかを向くので、各頂点は直方体の隣り合わない4頂点になる。
これを (-a,-b,-c)　(a,b,-c)　(-a,b,c)　(a,-b,c) とおくとき,　
　R = √(a^2 +b^2 +c^2),
　r = 3V/(4S),
　V = (8/3)abc,
　S = 2√{(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2},

よって (a^2,b^2,c^2) は次式の解。
　t^3 -R^2･t^2 +(1/4)S^2･t -(3V/8)^2 = 0,　S=3V/(4r).
0548１３２人目の素数さん2006/11/21(火) 23:58:54
>>528を詳しく教えてください｡
0549１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 00:00:41
ならば・・・
やたらデカい球の端に薄ーい4面体作って内接球の半径をものすごく小さくして，
その小さい内接球を真ん中にもってくれば等面4面体にはできない気がする

外接球の半径を固定したとき，等面4面体の内接球の半径には最小値が存在するか？
という問題になるわけで，ありそうだと思う
証明はしてないが
05505212006/11/22(水) 00:03:23
>>547
その方法で外接球半径と内接球半径が定められた等面四面体にも体積の範囲がある、ということまではわかりました。
（Vとｔで変数分離してｔが三実解を持つためのVの条件がわかる）

外接球半径と内接球半径を定めた「任意の」四面体の体積の範囲が↑におさまるかどうかがわからなくて止まってしまっています。
05515212006/11/22(水) 00:05:57
連レスｽﾏｿ
>>549
R>=3rだと思います。上のやり方だとそういう条件が出てきたし、正四面体のときに等号成立するからたぶん合ってる。
0552１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 06:12:25
難問age
0553１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 08:38:56
物理の偏光について勉強していて、楕円偏光の式なのですが

Ex＝acos(ωt-kz+φx)
Ey＝bcos(ωt-kz+φy)

上の式でωt-kzを消去すると

(Ex/a)^2+(Ey/b)^2 - 2(Ex/a)(Ey/b)cosδ＝sin^2δ　δ＝(φx-φy)

となるのですが、何度考えてもωt-kzを消去できませんでした。
計算過程を知りたいです。
0554１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 09:38:39
難問age
0555１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 09:39:38
どこがだよ。
0556１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 09:57:26
>>553
ωt-kz=αと書き換えると
Ex＝acos(α+φx)=a*cosα*cos(φx)-a*sinα*sin(φx)
Ey＝bcos(α+φx)=b*cosα*cos(φy)-b*sinα*sin(φy)
sinαとcosαを独立変数と見なして連立一次方程式を解くと
sinα=～～略～～
cosα=～～略～～
sin^2α+cos^2α=1に代入して以下略
0557１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:06:30
100本のくじがあり､一等５本1000円､二等１０本500円､三等２０本100円 他空くじのとき一本引いた時の賞金の期待値は？

お願いします
0558１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:09:33
難問age
0559１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:14:38
なんもなげ
0560１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:19:02
>>557
1000*(5/100) + 500*(10/100) + 100*(20/100) = 120 円
0561１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:24:43
>>560
スマンもうちよと詳しく
0562１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:27:55
えーと
1000円*(5/100)+ 500円*(10/100) + 100円*(20/100) + 0円(空くじのやつね)*(65/100) = 120 円
でいいんじゃないかな。
0563１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:28:00
金よこせ
0564１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 10:29:24
>>556
どうもありがとうございました。助かりました。
0565１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 14:23:50
Aをλ*(A)＜∞となるような集合とする。このとき、
関数 g(x) = λ*(A∩(-∞,x]) がR上で一様連続になることを示せ。

「λ*」は外測度です。よろしくお願いします。
0566１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 14:41:29
>>478
おいおい、本当に両方1/2か？

もちろん問題設定にもよるが(1)が例えば
「少なくとも一つは黒石ですか？」と聞いて「yes」だったというシチュエーションであれば、
（全体の石の個数を無視すれば）同様に確からしい以下の全事象
黒-黒
黒-白
白-黒
白-白
のうち上三つが現状に該当するので、1/3だろ

１．２．を対比して出題していることからして、
１．の題意はこのように解釈するのが自然だと思うんだが
0567１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 14:47:24
確かに１．の「一つが黒であることが分かっている」において
どのように黒石の存在を確認したかによって回答は変わる。
例えば「特定の手に対して黒石であるかどうかを確認した」のであれば２．と全く同じ
ただ文脈からしてどちらの手が黒石なのかどうかは分かっていないようなので
「少なくとも一方が黒石であるという命題が真」と解釈すべきと考えた。
0568１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 14:57:31
ln{x+(x^2+1)^1/2}の不定積分(@_@;)
0569１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 15:14:10
x*log{x+√(1+x^2)}-√(1+x^2)+C
0570１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 15:20:47
やり方は部分積分で、∫log{x+√(1+x^2)}dx=∫(x)'*log{x+√(1+x^2)}dx=x*log{x+√(1+x^2)}-∫x/√(1+x^2)
∫x/√(1+x^2) dx は、1+x^2=tとおいて、(1/2)∫dt/√t =√t+C だから、x*log{x+√(1+x^2)}-√(1+x^2)+C だ。
0571１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 16:04:07
どなたか>>565の回答をお願いします。
05725712006/11/22(水) 16:09:24
あ、ああ！

自己解決しました。
0573１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 16:10:10
大問５つのうち２つ解けません。

①
曲線y=f(x)上の任意の点における接線の傾きが、
常にその点のx座標とy座標の差の2乗に等しいとする。
その曲線が点(1,1)を通るとき、曲線の方程式を求めろ。

②
関数fn(x)=x^ne^1-x(n=1,2,3････)に対して、
数列An=∫[1,0]fn(x)dxとおく。

(1)0<x<1のとき、0<fn(x)<1であることを示し、
それを用いて0<An<1であることを証明せよ。

(2)AnとAn-1のあいだに成り立つ漸近式を求め、
それを解いて一般項Anを求めよ。

お願いします。
②のAの表現は小文字のaとして隣あった数字記号は右下についてるものとして見て下さい。
表現がへたくそですいません。
0574１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 16:37:19
n<N(自然数）が過剰数ならｎの倍数はすべて過剰数をしめせ

をとける方いましたよろしくおねがいします。
0575１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 16:38:47
ここに聞いてよいものか悩ましいのですが、
アルキメデスの平面充填形の一つである、
3-4-6-4
には、呼び名は無いのでしょうか？
正方格子とか、カゴメ格子といった一般的な呼び名があるかどうか、
知っている方がいたら是非。
知ってそうな板でも良いので、よろしくおねがいします。
05765742006/11/22(水) 16:40:32
すいませんとけるかたいたらお願いします。

文章おかしかったので訂正
0577１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 17:08:51
>>573
これ何の問題？
何かの模試とかじゃないよね
0578１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 17:12:28
>>573
２(1)0<fn(x)<1は微分して増減表。0<A(n)<1は明らか
(2)部分積分公式よりA(n)=nA(n-1)-1
両辺をn!で割ってb(n)=A(n)/n!とおくと
b(n)=b(n-1)-1/n!
b(n)=b(1)-Σ[k=2,n]1/k!

かな？
0579１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 17:15:54
ｆを可測関数で[0.∞]に値を持つとき
∫ｆdx＝c; cは定数
この時
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx= ∞,0＜α＜1を示せ。

誰かお願いします！！
前に答えてもらったんですが理解できなかったのでよろしくお願いします！
0580１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 17:20:13
>>577
学校の宿題ですけど、なんかの過去問らしいです
>>578
ありがとうございます

残りの①も解けるかたがいたらお願いします
0581１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 17:52:07
教えてください
d/dy∫f(x,y) dx
は
∫d/dy f(x,y) dx
でいいんでしょうか．
ちなみに積分範囲はyに無関係です．
0582１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 18:10:40
Oを原点とするxyz空間に円筒面x^2+y^2=1がある。A(1,0,0),B(-1,0,π)
として動点Pは円筒上のy≧0の部分を最短距離でAからBまで動くものとする。
Pからxy平面に降ろした垂線の足をQとして三角形OPQの周および内部が通過
してできる立体をKとする。
(1)Kをz=aできったとき(0≦a≦π)の切り口の面積を求めよ。
(2)Kの体積を求めよ。
0583１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 18:15:58
>>581
えーと、f(x,y)と(∂/∂y)f(x,y)が連続で･･･とか
なんか色々条件あった気がしたけど忘れた。
とにかく出来るときもあれば出来ないときもある。
05845812006/11/22(水) 18:19:49
>>583
早速にありがとうございます．
積分する変数と微分する変数が違っても，微分・積分の交換は簡単にできないんですね・・・．
0585１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 18:19:57
n<N(自然数）が過剰数ならｎの倍数はすべて過剰数をしめせ

多分証明です、自分ではまったく歯が立たないので誰かたすけてください。
0586１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 18:48:28
>>584
積分変数に関係なかったら大丈夫だよ。
順序変更とかなると条件は色々あるけどね！
0587１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 19:28:50
お願いします。
素数の二乗は因数が3つしかないことを証明せよ
0588１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 19:44:39
>>587
素因数分解
1,p,p^2でしか割れない
0589１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 19:44:48
>>587
数えればいいだろ
0590１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 20:16:12
【問題】
a＞0 　b＞0　ｃ＞0　かつ 　abc＝１　のとき

a^2*b ＋ b~2*a ＋ c^2*a　≧　a ＋ b ＋ c が成り立つことを示せ。

【依頼内容】
難問の筈です。三次方程式の解の公式に結びつける方法で解けるかた、
もしいましたら略解だけでもお願いします。
解けるかたが現れるまでひたすら待ってます。
0591１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 20:22:22
>>585
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/perfect_number.pdf
の12、13ページを参照あれ
0592質問です ◆13hR61fm8. 2006/11/22(水) 20:27:20
（１）aを0≦a≦2を満たす実数の定数とする。
曲線C:y=2-a-x^2を考える。点PがC上の-√(2-a)≦x≦√(2-a)
の部分を動くとき、OP^2の最大値をMとする。Mを求めよ。

（２）座標空間内において不等式O≦y≦2-z-x^2かつz≧0を満たす点(x,y,z)の全体からなる立体をDとし、Dをz軸の周りに一回転したときDが通過する部分をEとする。Eの体積を求めよ。
0593５９０2006/11/22(水) 20:51:13
式を書き損じてました。申し訳ありません（汗
【訂正版】

a＞0 　b＞0　ｃ＞0　かつ 　abc＝１　のとき

a^2*b ＋ b^2*c ＋ c^2*a　≧　a ＋ b ＋ c が成り立つことを示せ。
0594１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 20:57:40
ボクチンの挑戦はやめとけ
0595１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:07:26
>590
相加･相乗平均より
　(2aab + cca)/3 ≧ a(abc)^(2/3) =a,
　(2bbc + aab)/3 ≧ b(abc)^(2/3) =b,
　(2cca + bbc)/3 ≧ c(abc)^(2/3) =c.
辺々たす?
　
0596１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:09:42
瞬殺かよｗｗ
0597１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:11:58
ａ＞０ 　ｂ＞０　ｃ＞０　かつ 　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝１　のとき

１／（ａ＋ｂ）＾２ ＋ １／（ｂ＋ｃ）＾２ ＋ １／（ｃ＋ａ）＾２ ≧ ９／４

が成り立つことを示せ。
0598１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:14:40
全角タンきたーーーー
0599１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:31:39
さいころを最高6回まで投げて
4が5か6より先に出る確率をp1
5か6が4より先に出る確率をp2
とするとき、p1、p2を求めよ。

お願いします。
0600１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:32:15
>>595
それと三次方程式とどう関係するの？
0601１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:34:03
>>590
解の公式なんて使わないといけないのか・・・
俺の手には負えん
0602１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:34:41
>>597
マルチは死ねばいいよ
0603１３２人目の素数さん2006/11/22(水) 21:54:47
>>599
マルチ
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