分からない問題はここに書いてね２６５
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0001１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 09:47:01前スレ
分からない問題はここに書いてね２６４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/
0002１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 11:05:360003１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 13:33:43求め方もお願いします。
0004１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 19:08:520005１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 19:31:23そういうときはR^1じゃなくて[0,∞)だぞ。
あと、全体と同相じゃなくて、[0,∞)のある開集合と同相だ。
0006１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 20:40:37A,B２人がコインを１個づつもち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら、表のでたほうに○、裏が出た方に×、また、ともに裏か表ならどちらにも△を与える。そして繰り返し投げて、間に×を挾間津に○を２個先にとった方（△は破産でもよい）を勝ちとする。
このとき、ｎ回目（ｎ≧２）で勝負が決まる確率をもとめよ
二問お願いします
0007１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 21:05:49１回でも○か×が出た後は
どの回でもA、Bいずれかに勝ちになる可能性がありその確率は1/4
k回目に初めて○か×が出てその後n-1回目まで
勝負が決しないでn回目に勝負が決する確率は、
(1/2)^(k-1)*(3/4)^(n-1-k)*(1/4)
そのkは1からn-1まで考えられる。
よって求める確率は
Σ[k=1,n-1](1/2)^(k-1)*(3/4)^(n-1-k)*(1/4)
=(3^(n-1)/4^n)Σ[k=1,n-1](2/3)^(k-1)
=(3^(n-1)/4^n)((2/3)^(n-1)-1)/((2/3)-1)
=(3^n)/(4^n*((2/3)^(n-1)-1))
0008１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 22:29:04その立体を x = k で切ったときの切り口が
どうなるかを考えてみたら？
0009１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 23:11:59∫ｆdx＝c; cは定数
この時
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx= ∞,0＜α＜1 ｃ,α＝1 ０,1＜α＜∞ を示せ。
誰かお願いします！！
eを使うだろうっていうのはわかるんですが…
0010１３２人目の素数さん
2006/11/17(金) 23:22:30「型」と「類」がよくわかりません＞＜
知っている人いますか？
0011１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 00:19:50lim ∫n log[1+(f/n)^α]dx >= liminf ∫n log[1+(f/n)^α]dx
>= ∫liminf n log[1+(f/n)^α]dx = ∞
他の場合はがんばって極限と積分をいれかえろ
0012１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:06:09(2)一点のみで微分可能でそれ以外では不連続な関数を作れ。
お願いします。
0013１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:11:20(1)は
f(x) = x for x∈Q
f(x) = 0 else
0015１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:13:40直円柱： x^2 +y^2 ≦ a^2, 0≦z≦b.
これを平面 z=x で切る。
底面に平行な断面積S(z)は
0≦z≦m のとき S(z) = 2∫[x=z,a] √(a^2 -x^2) dx = (a^2)arccos(z/a) -z√(a^2 -z^2).
z>m のとき S(z)=0.
ここに、m=min(a,b).
V = ∫[z=0,m] S(z)dz = [ (a^2)z･arccos(z/a) -(a^2)√(a^2 -z^2) +(1/3)(a^2 -z^2)^(3/2) ](z=0,m)
= (a^2)b･arccos(b/a) -(a^2)√(a^2 -b^2) +(1/3)(a^2 -b^2)^(3/2) +(2/3)a^3, (0<m=b≦a)
= (2/3)a^3. (0<m=a≦b)
0016１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:20:15∫[x=n､n+1](1/x)dx＞1/(n+1/2)を示せ
お願いします
0017１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:28:32可算無限個ってのもいまいち意味がよくわからなくて。
可算って自然数全体の集合と一対一が存在するってことでしたっけ？
0018１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:29:53そんな関数あるのかよ
問題あってる？
0019１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:30:24自然数全体の、ある部分集合と一対一が存在するってこと
0020１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:30:26をx=1を軸に回転させたときの体積を求めよ
お願いします
0021１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:31:46問題はこの通りです。
0022１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:32:11ありがとうございます
0023１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:35:56f(x) = 1/x とおくと f "(x) = 2/(x^3) > 0.
f(x) > f(m) + (x-m)f '(m), m = (a+b)/2 … 接線より上にある。
∫[x=a,b] f(x)dx > ∫[x=a,b] {f(m) +(x-m)f '(m)}dx = (b-a)f(m).
0024１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:40:41(1)
f(x) = sin(1/x) (x∈Q-{0})
f(x) = 0 (else) ならOKかな
002518
2006/11/18(土) 01:41:36と思ってたらできた
g(x) = x^2 (xは有理数)
g(x) = 0 (xは無理数)
とすればgは0で連続、他では不連続
この関数をうまく繋げてやればできる
(2)の答えはgそのもの
条件にあわなけりゃ、適当に平行移動しとくれ
0026１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:42:25無限可算個ってのはどのように示されるのですか？
無限個あるってのはわかるのですが。
0027１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:44:09詳しくお願いします
0028１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:46:02sin(1/x) = 0のところで連続だから、
1/x = nπ (n∈N)
x = 1/(nπ) となるxで連続になる。
自然数でラベル付けできてるから加算無限個。
0029１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:48:15>>25
この場合は可算無限個であることはどのように示されるのですか？
0030１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:49:28(1/x) + 1/(2n+1-x) > 2/(n +1/2) …… 相加･調和平均
∫[n,n+1] (1/x)dx +∫[n,n+1] 1/(2n+1-y) dy > 2/(n +1/2).
0031１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:55:36>>25は
>この関数をうまく繋げてやれば
と言ってるから繋ぐのは自分でやらなきゃ。
例えば[0,1]を{0}∪(∪[n=1,∞] [2^(-n),2^(1-n)]) と分割して
それぞれの区間で>>25の関数を平行移動して入れてみるとか。
0032１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:56:25相加・調和平均とは？
0033１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:58:21自分で調べることを覚えろ
0034１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 01:58:44なるほど〜。自分でも考えてみることにします。
0035１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:12:03調べました。
逆数の相加平均の逆数ですよね？
0036１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:16:26なぜ1/(2n+1-x) dxが
1/(2n+1-y) dyになっているのですか？
003730
2006/11/18(土) 02:16:36〔相加･調和平均の不等式〕
n個の正の実数 a,b,…,z について
{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}/n ≧ n/(a+b+ … +z).
等号成立は a=b=…=z のとき。
(略証)
(a/b) +(b/a) -2 =(a-b)^2 /(2ab) ≧0, etc.
{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}･(a+b+ … +z) = n^2 +(a/b + b/a -2) + …… ≧ n^2,
{(1/a) + (1/b) + … + (1/z)} /n ≧ n/(a+b+ … +z).
0038１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:32:47y=1/x の x=n+1/2 における接線で囲まれる台形の面積と比較してみればいい。
0039１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:36:02ｎを正の整数とする。2n^2+1、4n^2+1、6n^2+1がいずれも平方数であるような正の整数ｎは存在しないことを示せ。
答えじゃなくてもいいんで、何か解法のヒントを教えていただけたら幸いです
0040１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:48:390041１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 02:56:590？
0042１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 03:30:50何だ、マルチか。
0043１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 03:37:050044１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 04:58:11y = -cos(πx) +1, 0≦x≦1,
S(y) = π(1-x)^2
V = ∫[0,2] S(y)dy = ∫[0,1] π(1-x)^2･(dy/dx)dx = ∫[0,1] (π^2)(1-x)^2･sin(πx)dx
= [ {-π(1-x)^2 +(2/π)}cos(πx) -2(1-x)sin(πx) ](x=0,1)
= π-(4/π).
∫(π^2)(1-x)^2･sin(πx)dx
= -π(1-x)^2･cos(πx) -2π∫(1-x)cos(πx)dx
= -π(1-x)^2･cos(πx) -2(1-x)sin(πx) -2∫sin(πx)dx
= -π(1-x)^2･cos(πx) -2(1-x)sin(πx) +(2/π)cos(πx) +c.
0045１３２人目の素数さん
2006/11/18(土) 06:27:151から100までの番号が書かれた玉100個が袋に入っている。いま、この袋から無作為に10個の玉を取り出し
それらに書かれた数字を覚えた後、袋に戻す。次に、再び袋から無作為に10個の玉を取り出す。
(1)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉が7組あるような確率を求めよ。
(2)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉の組の数の期待値を求めよ。
お願いします
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