恐らくは子供時代に呼んだ数学パズルの問題書の問題だと思います。
ふと思い出したもので、細部がうろ覚えの問題で恐縮なのですが。

[問]
ふと、あるゲームを主催しようと考えました。
そのゲームというのはコインを投げて、その裏表の出目によって金銭を与える、というものです。
コインを連続で投げて、表が出た時点で賞金を与えます。その賞金の額の条件は以下のようなものです。
1回目で表が出た場合100円を与えてゲーム終了。
1回目裏で2回目表が出た場合200円を与えて終了、
1回目、2回目が裏で3回目が表の場合400円を与えて……
と、裏が連続で出続ける限り、賞金が倍増していくゲームです。
さて、このようなゲームを主催しようと考えたとき、最低限、参加費は幾らにすれば良いでしょう？

という問題だったと思います。

最低限の参加費＝参加者がゲームで得られる金銭期待値
と考えて期待値を求めようとしたのですが、計算してみたところ、期待値が無限大になってしまいました。
Σ[1/2^n * 2^(n-1)*100]
で、ゲームが無制限に繰り返されるので、
50+50+50+50+....と∞に50が足されて、最終的に合計が∞、期待値が∞になってしまいます。
しかし、期待値＝参加費が∞になるほどに、このゲームにうまみはないと思うのです。
９回連続で裏が出て10回目に表でも、51200円程度にしかならないわけで、どう見てもおかしい。

数学から離れて随分経つので、自分の考え方が正しいのかも分かりません。
どうか私の考え方のおかしいところ、正しい問題の解き方をご教授いただけると助かります。