まあおおざっぱに言えば、
無理数 x は有理数の数列{x_n}の極限として表現出来る。
１つの無理数に対していろんな有理数列があるけれど、
どの数列を使ってもa^{x_n} は必ず同じ値になる（要するに連続に出来る）。
これをa^xと決める。
こうすれば、有理数での定理にこれを使って、無理数でも成り立つ事が言える。

対数関数の性質は指数関数の逆関数だから、でおｋ。