＞解析学は改築や建て増しをしながら進める学問だと思っていますから
問題があることが分かったら、すぐに何が問題なのか？
どうやったら解決できるのか？と考えるのが現代の数学だけどね。
問題が起きない場合だけに限定して使えば良いのだからこのままで良いや、
といって「どういう場合に問題が起きる／起きないのか？」も調べないのが
工学屋や物理屋の数学ですけどね。
（別に侮蔑しているわけではないですよ。
数学的厳密性に過度に拘る物理の論文は面白くない、
という幾何学の先生も居ますし。）

＞無限小の歴史を１から勉強して｡
あなたが読んだ本に書いてあったんでしょうけど、それは
無限小は収束プロセスであって一つの値ではない、
とか、あるいは有限の「普通の実数」ではない、とかそういう意味だよ。
有限という言葉は有界と同じ意味で使うことが多いし、
ある実定数より大きくてある実定数より小さい、という意味で使う事はあまり無い。

だいたい、あんたのレスを読んでも無限小の定義は書いてない、と言ったら
有限な値ではない、0でもない、それで十分な理解なんだ、と言ったんだろ？
ここで無限小の歴史を１から勉強しろ、そうすれば無限小の意味が分かる、
とかそんな莫迦なレスがあるか。少しは自分の発言に責任を持って下さい。