解析概論ではΔxを独立変数とみなしたときdf=f'(x)Δxと定義している。
するとdx=Δxだからdf/dx=f'(x)という微分商が形式的に定義でき、ライプニッツの記法に合理的な意味づけができる。
いい加減な書き方ではないし、初等的な概念しか使っていない。
どこにも無限小だと解釈する余地はありませんが・・・

こういうまじめな説明を端折って、直観的にdf/dxは無限小/無限小だと説明する本や講義も多いけどね。