>>656
n日目までのゲーム数の合計をS[n]とする。ただしS[0]=0
また集合A[m]={n|S[n]≡m(mod21)}とする。
すると∪[m=0,20]A[m]={n|0≦n≦77}
鳩ノ巣原理よりA[m]が全て要素数3以下ということは有り得ない。

場合分けその１：あるA[m]の要素が5個以上だったとする。
そのようなA[m]の要素を小さい順にA[m,1]、A[m,2]…とする。
仮に全てのA[m,n+1]-A[m,n]＞21だとするとA[m,n+1]-A[m,n]≧42
よってA[m,5]-A[m,1]≧168
これは最大でも132ゲームを越えないという問題の仮定に反する。
背理法によりあるnについてA[m,n+1]-A[m,n]=21
この場合A[m,n]日目からA[m,n+1]-1日目までの間に21ゲームしたことになる。

場合分けその２：全てのA[m]が4個以下だったとする。
その場合、要素が4個であるA[m]が少なくとも15個なければ
全部合わせた要素数が77個に足りない。
そのような最大のmは少なくとも14でなければ15個の相異なるA[m]は有り得ない。
そのようなA[m]の要素を小さい順にA[m,1]、A[m,2]…とする。
仮に全てのA[m,n+1]-A[m,n]＞21だとするとA[m,n+1]-A[m,n]≧42
よってA[m,4]-A[m,1]≧126
またA[m,1]を21で割った余りは14以上だからA[m,1]≧14
するとA[m,4]≧140
これは最大でも132ゲームを越えないという問題の仮定に反する。
背理法によりあるnについてA[m,n+1]-A[m,n]=21
この場合A[m,n]日目からA[m,n+1]-1日目までの間に21ゲームしたことになる。