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分からない問題はここに書いてね２６４

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0001１３２人目の素数さん2006/11/07(火) 22:12:21
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね２６３
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162199292/
0652１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 01:54:48
Ｒ上でf(x)＝sin(x^2)は一様連続でしょうか?
0653１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 01:58:04
>>647
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163087603/551
0654１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 01:58:21
いや
0655１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 05:17:40
>>651
∬D　1/√(x^2+y^2) dxdy
= ∫[x=0,1]dx∫[y=0,x] 1/√(x^2+y^2) dy
= ∫[x=0,1]dx [log{y+√(x^2+y^2)}][y=0,x]
= ∫[x=0,1] log(√2 +1) dx
= log(√2 +1)
0656１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 06:16:41
全然わかりません･･･よろしくおねがいします。

A chessmaster has 77 days to prepare for a tournament.
He wants to play at least one game per day, but not more than 132 games.
Prove that there is a sequence of successive days on which he plays exactly 21 games.
0657１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 06:26:26
>>650
解説あるし
0658１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 06:39:43
>>656
鳩ノ巣原理
0659１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 07:24:49
>>655
広義積分を求める問題ですけど近似列は取らないんですか？
といっても(0,0)が特異点ってだけなのかな。
0660１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 07:48:03
>>658
鳩ノ巣原理で証明しようとしたんですが、なんかよくわかんなくなってしまって・・・
0661１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 08:38:17
>>656
n日目までのゲーム数の合計をS[n]とする。ただしS[0]=0
また集合A[m]={n|S[n]≡m(mod21)}とする。
すると∪[m=0,20]A[m]={n|0≦n≦77}
鳩ノ巣原理よりA[m]が全て要素数3以下ということは有り得ない。

場合分けその１：あるA[m]の要素が5個以上だったとする。
そのようなA[m]の要素を小さい順にA[m,1]、A[m,2]…とする。
仮に全てのA[m,n+1]-A[m,n]＞21だとするとA[m,n+1]-A[m,n]≧42
よってA[m,5]-A[m,1]≧168
これは最大でも132ゲームを越えないという問題の仮定に反する。
背理法によりあるnについてA[m,n+1]-A[m,n]=21
この場合A[m,n]日目からA[m,n+1]-1日目までの間に21ゲームしたことになる。

場合分けその２：全てのA[m]が4個以下だったとする。
その場合、要素が4個であるA[m]が少なくとも15個なければ
全部合わせた要素数が77個に足りない。
そのような最大のmは少なくとも14でなければ15個の相異なるA[m]は有り得ない。
そのようなA[m]の要素を小さい順にA[m,1]、A[m,2]…とする。
仮に全てのA[m,n+1]-A[m,n]＞21だとするとA[m,n+1]-A[m,n]≧42
よってA[m,4]-A[m,1]≧126
またA[m,1]を21で割った余りは14以上だからA[m,1]≧14
するとA[m,4]≧140
これは最大でも132ゲームを越えないという問題の仮定に反する。
背理法によりあるnについてA[m,n+1]-A[m,n]=21
この場合A[m,n]日目からA[m,n+1]-1日目までの間に21ゲームしたことになる。
0662１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 08:49:58
>>660
s_iを初日からi日目までの試合数の合計とする。
s_1<s_2<...<s_77≦132
s_1+21<s_2+21<...<s_77+21<132+21=153
なので、s_i=s_j+21となる組が必ず存在する(77*2=154>153だから)。
j日目からi日目までの試合数は21
0663１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 09:17:41
区間 [0,1] においてカントール関数ψが非減少関数であることを示せ。

x＜yとなるようなx,y∈[0,1]を考えて、ψ(x)≦ψ(y)を示せばいいと
思ったのですが、具体的にどう示せばいいのか分かりません。
どなたか解答を教えてください。
0664１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 09:29:17
>>663
ヒント。xやyを３進数の小数で表す。
x≠yならば必ず食い違う桁が存在する。
最初に食い違う桁について場合分けして考える
0665１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 10:02:38
1.次の関数は複素平面全体で連続であることを示せ
f(z)＝Re(z)
2.f(z)がz＝z0で連続であるならば、Re(f(z))も連続であることを示せ

考えてみても全くわかりません。解答のほどよろしくお願いします。
0666１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 10:05:19
>>665
どうみても連続
0667１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 10:22:36
０÷０＝１を証明して下さい
0668１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 10:27:35
>>665　演習本に類題がのっているけど
z=x+iy
f(z)=Re(z)=x
∀ε>0に対し、δ=ε/2>0と選ぶと
|x-x0|<δならば|f(z)-f(z0)|=|x-x0|<ε
となるので、すべてのx0で連続

z0で連続だから、∀ε>0に対し、∃δ>0があって、
|z-z0|<δ→|f(z)-f(z0)|<ε
ここで、z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とすると、
ε>|f(z)-f(z0)|=|(u-u0)+i(v-v0)|>=|u-u0|だから
|z-z0|<δ→|u-u0|=|Re(f(z)-Re(f(z0))|<ε
-----
z→z0のとき|f(z)-f(z0)|→0をしめしてもよい。
x→x0のとき|f(z)-f(z0)|=|x-x0|→0
0669１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 10:30:10
>>667
間違いである以上
証明はできません。
0670１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:10:31
>>661>>662
ありがとうございます！
離散系はよくわかんない。。
0671１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:11:09
①4x^2＝9
②-5x^2+40＝0

この方程式の解き方を教えてください
0672１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:22:29
>>671
4x^2 = 9
両辺を 4で割って

x^2 = 9/4
平方根を取って
x = ±√(9/4)

(9/4) = (3/2)^2 だから
x = ±(3/2)

-5x^2 +40 =0
移項して

-5x^2 = -40
-5で割って
x^2 = 8
平方根を取って
x = ±√8

8 = 2^3 だから
x = ±2√2
0673１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:35:41
>>672
凄くわかりますかったです。丁寧に解説ありがとうございます！
次はこの方程式の解き方がわかりません。
①（2x-1）^2＝0
②（3x+2）^2＝18
0674１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:36:51
>>673
お前わかってないだろ
0675１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:37:48
>>673
方法は同じだよ。
自分でやらないとこの先
何もできなくなっちゃうよ？
0676１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:39:51
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽについて知りたいです。
0677１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:42:47
>>676
ほい
http://www.nhk.or.jp/youho/pitagora.html
0678１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 11:46:32
>>677
ありがとうございます。
0679１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 12:03:16
673を答えられる人いますか？
0680１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 12:04:02
>>664
ありがとうございます。
一時間ほど考えてみて、段々と意味が分かってきたのですが、
N進数の考え方に慣れてないので今だに頭の中がごちゃごちゃ状態です。
よろしければ解答をいただけないでしょうか？
0681１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 12:10:01
>>679
自分でやれよ。
0682１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 12:13:16
n階微分の仕方が分かりません。公式があるのでしょうか。
　たとえば、「f(x)=arccosx,f(x)=e^arcsinxをn階微分せよ」の場合は、
左辺をf^(n) (x)=の形にするように思われますが、どうでしょうか。無理やりテイラーや
マクローランを移項すれば、fツーダッシュやf(n-1)ダッシュなどが出てきて、
微分したことになっていないように見えるうえに、最後の項に0以上1以下の新しい記号が
出てきてしまい、それの定義も答えに補足しなければいけなくなり、やたらに
複雑になります。
0683１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 12:24:42
>>682
3回くらい微分してみれば、n回でどんな形になるのか大体予想できると思うが。
0684１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 13:29:31
>>679
>>672がよく分かったと言いながら>>673を聞くような人間に教える能力も意思もない
06856652006/11/13(月) 13:30:58
>>668
ありがとうございます。
もしよろしければその演習本について教えてくださいm(__)m
0686１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 14:33:40
>>685
サイエンス社の演習関数論（サイエンスライブラリ演習数学）
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4781901794/sr=1-1/qid=1163395780/ref=sr_1_1/250-1789692-5466665?ie=UTF8&s=books
サイエンス社の関数論演習（数学演習ライブラリ）の方が問題は
多いけどその分略解が多い。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4781905137/sr=1-3/qid=1163395780/ref=sr_1_3/250-1789692-5466665?ie=UTF8&s=books

複素解析の演習本ならどれでも載っているように思いますが。
0687１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 17:44:04
>>673
4x^2-4x＝-1 4x^2＝4x-1 x^＝±√x-1/4
0688１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 18:06:31
x(1)=a, x(n+1)=√{2x(n)+3} 　n=1,2,3・・・・　　 ( )は添え字

で定められる数列がある。
ただし、aは -2/3 ≦a< 3を満たす定数とする。
このとき　a≦x(n)<3 を示せ
という問題で、解答はf(x)=√(2x+3) のグラフとy=x のグラフを書くなどして
下記のように書いてあります。
---------------------------------------------------
グラフより　a<√(2a+3) よって　a≦f(x)<3
つまりa≦x<3のときa<f(x)<3　この準備のもとに
a≦x(n)<3　を示す。


(1) n=1 のときx(1)=a　より　a≦x(1)<3 よってa≦x(n)<3が成り立つ

(2) n=kのとき成り立つとすると　a≦x(k)<3 このとき
a≦f(x(k))<3 f(x(k))=x(k+1)であるから　a≦x(k+1)<3

(1) (2) よりすべての自然数 n についてa≦x(n)<3
---------------------------------------------------

x(k)<f(x(k))を考慮すると
解答の「a≦x(k)<3 このときa≦f(x(k))<3」の部分は 「a≦x(k)<3 このときa<f(x(k))<3」とするべきだと思うのですが、
帰納法の証明のときは、証明したい式に等号が付いているという理由で等号を付けるのが正しい書き方なんですか？
もし、等号を付けなかったらどうなんでしょう？
0689１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 18:21:54
>>68
どっちでもいいよ。

どうなんでしょう？ じゃなくてそれだと本当にマズイかくらい
証明を追えばわかることでしょ。
0690１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 19:18:18
すみません、
曲線y=cosx (［0,π/2］)とx軸によって囲まれた図形を、
y軸の周りに1回転したときにできる立体の体積を求める！

パップスギュルダン(バームクーヘン)で解こうと思います。問題の囲まれた図形の重心のy座標は分かるのですが、重心のx座標が分かりません。お願いします。
0691１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 19:20:33
曲線y=cosx (［0,π/2］)とx軸、y軸によって囲まれた図形を、
でした。すみませんっ
0692１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 19:27:41
-y^2-5y+7＝0
0693１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 19:28:26
V = 2π∫[0,π/2]xcosxdx
0694１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 19:31:47
>692の解は何になりますか？
0695１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 20:12:26
>>694
y=(-5±√53)/2
0696１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 20:17:04
式だけなら
V=π∫[0,1](arcsiny)^2dy
とすぐにできるのですが、この計算ができないのでバームクーヘンで解こうと思っていました。

重心のx座標が求められません…。
0697１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 21:00:35
ありがとうございます
0698１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 21:09:44
>>696
＞V=π∫[0,1](arcsiny)^2dy
いや、普通に計算できるだろ。しろよ
0699１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 21:44:13
てか、いつから sin に
0700１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 22:13:41
てかじゃなくて…

すみません、cosでした。
sinでもやってみています。なんとかできそうです。
0701１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 22:24:02
V=π∫[0,1](arcsin(y))^2 dy　：x=arcsin(y)、y=sin(x)→dx=dy/√(1-y^2)=dy/cos(x)
=π∫[0,π/2] x^2･cos(x) dx
=π{x^2･sin(x)-2∫x･sin(x)dx}_[0,π/2]
=π^3/4-2π{-x･cos(x)+∫cos(x)dx}
=π^3/4-2π(sin(x))_[0,π/2]
=π^3/4-2π
0702１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 22:42:35
>>701 ありがとうございます。できました。
逆三角関数の積分は、部分積分と置換積分でできるんですね。
この調子でcosの場合でもやってみます。

レス下さった方、ありがとうございました。
0703１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 22:46:46
>>702
693を無視するなよ。
0704１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 23:08:39
>>644
答えはπ＾3/6なんですが、なんでそうなるのかわかりません。
これを導く式はＳ=∫［α=-π,αcosα]ｙdα-∫［0,αcosα］ｙdα
になるんですが。
0705１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 23:26:28
なんだよその式。
0706１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 23:33:08
S = ∫[0,π](π-α)αdα
0707１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 23:57:24
>>644
S = (1/2)∫[0,π]α^2dα の式の導き方を教えてください。


0708１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 23:57:54
εδ論法でlim(x→1)x^3=1
を証明するのに上手いδの取り方教えてください
0709１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 00:09:42
>>708
min{1,ε/7}
0710１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 00:42:56
未定係数法を用いて次の微分方程式の一般解を求めよ。
1.y''+y=3(t^2)
2.y''+5y'+4y=18(e^2t)
0711１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:14:43
x∈R∧x+1=x+2
これは偽か不能どっち？
0712１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:16:43
[a,0]∫log{ｅ}(1＋ｅ^x)dxはどうすればいいですか!?
0713１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:20:26
空集合は開集合ですか？
0714１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:23:19
開集合です。
0715１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:24:21
どうしてですか？
0716１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:25:49
次の広義積分を計算せよ。
(1)∬D　dxdy/√(x^2+y^2)(D:0≦y≦x≦1、x>0)
(2)∬D　e^(-xy)　dxdy(D:x>0、0＜a≦y≦b)(a,bは定数)
0717１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:26:44
空集合の補集合は全体集合だろ？
全体集合は開集合でも閉集合でもあるから
空集合もまた開集合でも閉集合でもある。
0718１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:28:39
>>715
開集合の定義に当てはめてみたら？
0719１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 01:34:04
なんか、この流れ他のすれでもみたんだけど
0720１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 07:03:34
高校生スレでわからなかったようなので
1辺がaの正四面体ABCDにおいて
(1)隣り合う2面のなす角をθとするときcosθをaで表しなさい。
これをお願いします。
0721１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 07:39:49
>>703

すみません、>>693の式の導き方を教えて下さい。
0722１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 07:42:36
半径がaの半円の中に長方形を書く時
長方形の面積が１番大きくなるのはどんな時ですか？
0723１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 08:06:07
>>720
1辺の中点Mをとる。Mから最も遠い2つの頂点とMを結ぶ(2本)。
あとは余弦定理
0724１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 08:07:56
>>720
マルチ氏ね
1/3て答えてもらってるだろうがカス
0725１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 08:08:06
>>720
チャートの例題、いや教科書にそのまま載ってそうな問題だな。
0726１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 08:10:29
そのcosθをaで表しなさいなんて問題はなかなかないだろ
0727KingOfUniverse2006/11/14(火) 08:11:02
talk:>>720 お前に何が分かるというのか？
0728匿名2006/11/14(火) 08:45:22
２つの２次関数y=2x②乗-4x+3とy=ax②乗-2x+bのグラフの頂点が、一致するとき、定数a，bの値を定めなさい。これをやってくれませんか？
0729１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 08:46:57
宿題なんか自分でやれよ。
0730１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 09:34:29
>>728
y = 2x^2 -4x+3 = 2(x-1)^2 +1
だから、頂点は (1,1)

y = ax^2 -2x+b = a (x-(1/a))^2 -(1/a) + b
となるから
1/a = 1
-(1/a) + b = 1

a = 1
b = 2
0731KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/11/14(火) 10:15:18
talk:>>727 お前誰だよ？

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
0732１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:18:48
>>710
1.y''+y=3(t^2)
特性方程式λ^2+1=0の解はλ=±i
斉次方程式の解は、y=c1･cost+c2･sint
λ=0は特性方程式の解でないから、特解は、
y=(a･t^2+b･t+c)･t^0･e^(0)=a･t^2+b･t+c　とおける。
y''=2aより、a=3,b=0,c+2a=0　→c=-6　→y=3t^2-6
よって、一般解は、y=3t^2-6+c1･cost+c2･sint

2.y''+5y'+4y=18(e^2t)
特性方程式は、λ^2+5λ+4=0、λ=-1,-4
斉次方程式の解は、y=c1･e^(-t)+c2･e^(-4t)
2は特性方程式の解でないから特解を
y=a･x^0･e^(2t)=a･e^(2t)とおくと、y'=2a･e^(2t),y''=4a･e^(2t)より
4a+10a+4a=18　→a=1　→y=e^(2t)
一般解は、y=e^(2t)+c1･e^(-t)+c2･e^(-4t)
0733KingOfUniverse2006/11/14(火) 10:18:59
俺は誰だっけ？
0734１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:19:41
>>722
正方形の時。
0735１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:20:19
正方形じゃないだろう
0736１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:22:38
半円だから正方形の半分だな。
0737１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:25:16
>>712
∫[0,a] log_{e}(1＋ｅ^x) dx
e^x+1=tとおくと
∫[2,e^a+1] log(t) dt/t
=[(1/2)(log(t))^2]_[2,e^a+1]
=log{(e^a+1)/2}
0738１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:39:19
sinθ＋cosθ＝1/2のとき、cos2θの値を求めなさい。教えてくれませんか？
0739１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:42:18
>>722
直径上と円周上に2点ずつ頂点がくるときは、そのまた半分の1/4円で考える。
単位円の第1象限だけで考えて、原点、x軸上、円周上、ｙ軸上の4点で作る長方形。
それを原点を通る対角線で割った三角形を考えると直角三角形で斜辺は常に1。
なので、斜辺を底辺と考えたときの高さが最大の時、つまり、直角二等辺三角形の時が最大。
それを元の問題の長方形に戻すと皆さんの回答通り。
半円の内部に頂点がくる場合にはそれより面積が大きくなることはないってのは当たり前な気はするが、
どうやって証明すりゃいいのかな？
0740１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:44:11
>>738
平方して
1 + sin(2θ) = 1/4
sin(2θ) = -(3/4)
だから

cos(2θ)^2 = 1-(3/4)^2 = 7/16
cos(2θ) = ±(√7)/4
0741１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:47:54
∬e^(-xy)dxdy　D={x≧0、0<a≦y≦b}(a,bは定数)

近似列をD∩{xy≦nとなるように求めろとあるのですが、
どのように計算すればいいのでしょうか？}
0742１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 10:56:37
>>741
近似列って何？
0743１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 11:00:28
>>716
(1)∬D　dxdy/√(x^2+y^2)(D:0≦y≦x≦1、x>0)
=∫[0,1]dx∫[0,x]dy/√(x^2+y^2) ：ｙ=x･tan(θ)
=∫[0,1]dx ∫[0,π/4] x/√{x^2(1+tan(θ))^2}・dθ/(cosθ)^2
=∫[0,1]dx ∫[0,π/4] dθ/cosθ
=log|tan(θ/2+π/4)|_[0,π/4]

(2)∬D　e^(-xy)　dxdy(D:x>0、0＜a≦y≦b)(a,bは定数)
=∫[a,b]dy∫[0,∞]e^(-xy)dx=∫[a,b]{lim[x→∞]e^(-xy)-lim[x→0]e^(-xy)}/(-y) dy
=∫[a,b] dy/y=log(b/a)
0744１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 11:18:54
>>741
(1)
lim[n→∞] [1/n,1]×[0,x-1/n]
(2)
lim[n→∞]　[0,n]×[a,b]
でいいように思えるが、違うかな？
0745KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/11/14(火) 12:03:40
talk:>>733 私の借金の連帯保証人だ、などと言って欲しいか？

私は借金はしていないぞ。
0746１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:10:10
Ｖをｎ次元複素ベクトルとするとき、Ｖを実ベクトル空間と考えれば次元は２ｎとなることを示す。

とゆう問題の考え方を教えてください。
0747１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:13:33
考え方? 1とiが実ベクトル空間としての複素数全体の成す空間の基底なんだから
Vの基底は1とiの成分に分解されて御終い。
0748１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:42:52
AとBの確率があって(A-B)/(A+B)は何を表わしているかわかりますか？
0749１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:48:06
>>748
適当な条件下であれば、AかBが発生する条件の下でのAが起きてBが起きない確率。
0750１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:54:15
｛(x,y)∈Ｒ＾2:|x|≦1かつ|y|≦1｝
はＲ＾2の開集合ではないことを示せ
0751１３２人目の素数さん2006/11/14(火) 13:58:26
>>750
例えば(1,1)のいかなる近傍もそこに入らん。
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