ゲーデルの不完全性定理 - Wikipedia　
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

Gを「Gが自身を証明できない」と見た場合、直感的に正しい。つまり直感的に真なる命題が数学体系内で必ずしも証明できるとは限らない、ということを示唆している。

ってあるのですが証明できないのになんで直感的に真とわかるんですか？？
また、証明も反証もできない命題の具体的な例ってどんなのがあるのですか？