自分で答えが分からないからこのような質問に至ります(>_<)

1=0.999…999 または 1≠0.999…999 を証明してください。

高校で聞いてみたら、数学の先生(広大出身だからまとも…だと思う)曰く、
x=0.999…999とおく。
　10x=9.999…999
-) x=0.999…999
――――――――
9x=9
x=1
したがって、1=0.999…999である。
ということでした。
自分は大方納得した感じでしたが、友達が納得してくれません。

どうか、誰もが納得するような説明をお願い致します！