二項演算に関する問題で、自分で解いてみたのですが、以下の解答でよいかどなたか添削して頂けると有りがたいです。
よろしくお願いします。
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【問】a∈Rを固定。x,y∈Rに対して、二項演算*を以下のように定める。
x*y＝x+y-axy
このとき(1)単位元,(2)逆元の存在について言え。
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(1)単位元は0である。
∵任意の実数xに対して
x*0＝x+0-ax0＝x
0*x＝0+x-a0x＝x
よってx*0＝x＝0*xを満たすから単位元は0。
(2)逆元は(-x)/(1-ax)である。
∵任意の実数xをとり固定。さらにy＝(-x)/(1-ax)とする。

①a＝0のとき
x*y＝x+(-x)-ax(-x)＝x-x＝0
y*x＝(-x)+x-ax(-x)＝-x+x＝0

②a≠0のとき
x*y＝x+{(-x)/(1-ax)}-ax{(-x)/(1-ax)}
＝0
y*x＝{(-x)/(1-ax)}+x-a{(-x)/(1-ax)}x
＝0

したがって任意のaに対して
x*y＝y*x＝0(単位元)を満たすから、y＝{(-x)/(1-ax)}は逆元。