>(4)
>分配法則が使える時点で、和と積は完全に定義済みだと思うが。

これは違いますよ。
線形代数の教科書には行列の公理としてA(B+C)=AB+AC
となっていますが
行列の積（ＡＢやＡＣ）の計算の仕方は定義として話が進められております。