>>331は、負という記号を特徴付ける必要条件を述べているだけで、
十分条件を述べているとは言えないですよね。

負(－）という記号には、二つの異なる意味が付与されている。
即ち、
①線形順序構造(方向を持つ構造）における二つの方向の一方を表す。
②線形順序上における、方向反転操作を表す。
単なる－ｎは①を表し、×(－ｎ)は②を表す。
①は加減演算のみを許容する場合に登場する負記号で、
②は乗除演算を登場させた時、初めて意味を持つ。
負×負＝正は、①と②を共に認めたときに出てくる。

ところで、何故に負という記号に二種類の意味が付与されてしまったのか？
①の場合だけだと正(＋)と区別する根拠がなくなる
（＋と－を言い換えても、論理的な問題が全く生じない）
②の意味が付与されて、初めて正と負は不可換になる。
従って、正と負を不可換な記号にしたことが、
負×負＝正になってしまった事情。

な～んてふうに考えてんだけど、どうでしょ？