こんな説明はどうかな？

袋を1つ用意し、ばい菌n匹と錠剤m個を入れる。これを[n,m]と表すことにする。
ばい菌1匹と錠剤1個で反応を起こし、両者は消えるとする。このとき、袋の中身は
(n＞mのとき)ばい菌n−m匹，錠剤0個
(n＜mのとき)ばい菌0匹，錠剤m−n個
(n＝mのとき)ばい菌0匹，錠剤0個
となる。つまり、
(n＞mのとき)[n,m]＝[n−m,0]
(n＜mのとき)[n,m]＝[0,m−n]
(n＝mのとき)[n,m]＝[0,0]
となる。
2つの袋[a,b]，[x,y]があるとき、これを1つの袋にまとめる操作を[a,b]＋[x,y]と書く
ことにする。明らかに[a,b]＋[x,y]＝[a＋x,y＋b]となる。このとき、次が成り立つ。
(0){[a,b]＋[c,d]}＋[x,y]＝[a,b]＋{[c,d]＋[x,y]}＝[a＋c＋x,b＋d＋y]
(1)[a,b]＋[b,a]＝[0,0]
(2)[a,b]＋[0,0]＝[0,0]＋[a,b]＝[a,b]
(3)[a,b]＋[x,y]＝[x,y]＋[a,b]

ゴメン、飽きた。