＞代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
＞その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
順序体とか群とか環について勉強すりゃわかりますよ。

一般の環における「(-a)(-b)=ab」だとか
順序環における「a<0、b<0ならばab>0」は定理だからです。

＞「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
＞このことがわかって無かった人達だから
そうではなくて、あなたとは考えている問題がそもそも少し違います。お分かりでしょうか。

整数を定義する前に、一般的にある元が「負」であるとはどういうことかとか
考えようとしたら、こういう問題意識になるのはごく自然です。

前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
その違いは理解されてますか。