>>29
自然数の足し算に逆演算を定義して加法群を作ると整数が得られる。
このとき、自然数で成立していた掛け算を整数まで拡げることを考える。
この時点では、自然数mに対する加法群の逆元を-mと書くとき、
自然数ｍ、ｎについて
mxnは既に定まっているが、
（-m)ｘn　や
nｘ(-m)　や
(-m)x(-n)　は
これから定義しなければならない。
そこで、
(-m)xn　＝　-(mxn)　　　・・・（＊）
mx(-n)=-(mxn)　　　　　・・・（＊＊）
と定義すると
(-n)x(-m)　＝　-(nx(-m))　　　(＊)による　　　
　＝　-(-(nxm))　　　　　　　　(＊＊)による
-(-(nxm))はnxmの加法逆元の加法逆元であるから　nxmそのものである。
このように整数の掛け算を定義すると、
自然数の加法と乗法で成立していた分配法則が　そのまま整数でも成立することが証明できる。