∫{t=0,2π} ydx の間違いは、dxって書いてあるようにxで積分するのに積分区間がxでない文字で表されてるところ
∫[0→2π] ydx で、x=t-sintと置換して、x=0→2πのときt=0→2πより、∫[0→2π] y(dx/dt)dtとなる
パラメタ積分は正しい理屈をわかってない人が多いから気をつけてね