たとえばですが、
∫{(ax^2+bx+c)^f}dxといったようなものは展開してから積分するしかないのでしょうか。

高校では2Bまでしか習っていないのですが、少しだけ3Cの話を聞いたことがあります。
そのときに上の積分のやり方を聞いた覚えがあるのですが、名前はなんというのでしょうか。
チャートの置換積分部分積分の見てみましたが、ちがうようです。