xy平面上に、C:y=x^2-5x+6と直線L:y=kax-a^2-5aがある（k､aともに実数の定数）
(１)すべてのaに対して、LがCと異なる二点で交わるような定数kの値の範囲を求めよ。
(２)(1)で求めた範囲内で、CとLで囲まれる図形の面積がaに関係なく一定になるような定数kの値を求めよ。

(１)の答えは自分で出してみたところ、恐らく2＜ｋ＜13/6
しかし、(２)でつまづきました。

求める面積をＳとし、LとCの交点のx座標、つまりx^2-(5+ka)x+a^2+5a+6=0の解をα，β(α＜β)とすると、
S=1/6(β-α)^3となるので、β−αがaに関係なく一定の値になればよい。

ここまではできたのですが、この先のやり方がわかりません。
どなたか、お教えくださいm(_)m