>>147
平面 x+y=t による断面は台形でその面積は　(1/2){(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}*(√2)t
tが⊿tだけ変化すると断面に垂直な方向には⊿t/√2だけ変化するから
V=∫[0,π](1/2){(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}*(√2)t*dt/√2
=(1/2)∫[0,π]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}t*dt
u=π-t とおくと
V=(1/2)∫[0,π]{(sinu)^(2k+1)+(sinu)^(2k)}(π-u)*du となるので
V=(π/4)∫[0,π]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}dt
さらに
V=(π/4)∫[0,π/2]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}dt+(π/4)∫[π/2,π]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}dt
=(π/4)∫[0,π/2]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}dt+(π/4)∫[π/2,0]{(sinv)^(2k+1)+(sinv)^(2k)}(-dv) (v=π-t)
=(π/2)∫[0,π/2]{(sint)^(2k+1)+(sint)^(2k)}dt

ここで I(n)=∫[0,π/2](sinx)^n dx とおくと　I(n)={(n-1)/n}I(n-2) が成り立つので
I(2k) = (2k)!π/{2^(2k)*(k!)^2} , I(2k+1) = 2^(2k)*(k!)^2/(2k+1)!

よって　V = (π/2) [ 2^(2k)*(k!)^2/(2k+1)! + (2k)!π/{2^(2k)*(k!)^2} ]