二つの実数、a,bにおいて、a≠bと仮定する。
このとき、
a<b
また、2数の平均値、すなわち
(a+b)/2とおける実数cが存在するはずである。
この実数cは平均値なので、
a<c<bとなる。
この不等式が成り立たばければa≠bの仮定は矛盾し、a=bとなる。

同様な操作でこれにa=0.999…,b=1を代入する。(0.999…は循環小数である)

二つの実数、0.999…,1において、0.999…≠1と仮定する。
このとき
0.999…<1
また、2数の平均値、すなわち
(0.999…+1)/2とおける実数cが存在するはずである。
これを計算すると、
c=(0.999…+1)/2=1.999…/2=0.999…
よって、2数の平均値cと、二つの実数のうちの一つ(どう表現したらいいかわからないorz)が等しくなってしまう。
すなわち不等式が成り立たない。
したがって、0.999…≠1の仮定は矛盾し、0.999…=1となる。