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a↑, b↑ を l 上の点の位置ベクトルとする。 l は原点を通らないので
a↑≠0↑かつ b↑≠0↑ かつ a↑と b↑は平行でない。
f により l がそれ自身に移されるための必要十分条件は
l の方向ベクトル a↑- b↑ の f による像がそれ自身に平行で0↑にならないこと
かつ、l 上のある１点の像が l 上にあることである。
式で表すと、実数 u , v を用いて次のようになる。
f(a↑-b↑) = u*(a↑-b↑) , (u≠0) ・・・（1）
f(a↑)-a↑ = v*(a↑-b↑) ・・・（2）
v*（1）+ (1-u)*（2）から
f((1-u+v)*a↑-v*b↑) = (1-u+v)*a↑-v*b↑
(1-u+v)*a↑-v*b↑≠0↑ ならこれが不動点P0の位置ベクトル。
(1-u+v)*a↑-v*b↑=0↑ のときは 1-u+v=-v=0 だから u=1 , v=0
（1）から a↑-b↑ が不動点P0の位置ベクトルであることがわかる。