a[k] = 5m + α　　(α=1,2,3,4)
として
a[k+1] = a[k]^2 - a[k] + 1
= (5m)^2 + 5mα + α^2 - 5m - α + 1
= 5m{5m + α- 1} + α^2 - α + 1
≡ α^2 - α + 1 (mod:5)

α=1のとき　α^2 - α + 1 = 1
α=2のとき　α^2 - α + 1 = 3
α=3のとき　α^2 - α + 1 = 7
α=4のとき　α^2 - α + 1 =13

いずれの場合も５で割り切れないから帰納的にa[n]は５で割り切れない。