前スレの249
> R上の連続関数f(x)が定数関数でない周期関数なら
> 正の最小の周期が存在し、他の周期はその整数倍になることを示せ
関数をｆ（ｘ）とおく。今周期の一つをaとする。
a＜０なら、任意のxに対して　ｆ(x)=f((x-a)+a)=f(x-a)が成立するから、-aも周期であることが分かる。
よってかならず正の周期が存在する。今、その一つをA（≠0）とする。
正の周期の全体に最小値が存在しないとする。この意味は、どんな小さな正の数εをとっても
0＜A'＜εとなる周期A'が存在することを意味する。すなわち、正の周期のなかから単調に減少して0に収束する
列をとりだすことができる。以下ではそのように0に収束する減少列としての周期を考える。
任意のxに対しf(x)=f(0)となることをしめす。

もし、ある整数nがあってx=ｎAなら、周期の定義によりf(0)=f(A)=f(2A)=・・・=f(nA)=f(x)である。
ｘがAの整数倍でなければ、mA＜x＜(m+1)A　となる整数mが存在する。a(1)=mA と置く。
周期の中に　0＜A'＜x-mA　となる周期A'が存在する。
mAにA'の整数倍を加えたものがxに等しければ、前と同じ理由でf(x)=f(0)である。そうでないとすれば、
整数ｌがあって、mA+lA'＜x＜mA+(l+1)A'である。a(2)＝a(1)+lA'とおく。以下同様にa(i)が決まったとき、
a(i)<xならば０＜A''＜x-a(i)を満たす周期A''が存在し、このA''に前と同じ操作をしてa(i+1)をさでめることが出来る。
a(i)は周期の整数倍の和から構成された増加列でありxに収束する。
関数　f　は連続なので　lim[i→∞](f(a(i))＝f(lim[i→∞]a(i))＝f(x)である。f(a(i))=f(0)であったからf(x)=f(0)であり
関数ｆは定数関数になり、ｆの仮定に反する。よって正の周期には最小値が存在する。