①aに収束する任意の数列{x_n}(x_n≠a)に対してlim f(x_n)＝A
ならば
②lim_(x→a)f(x)＝Aを示したいのですが…

対遇をとって証明すると息詰まったので[①かつ②の否定が成り立つ]と仮定して矛盾を導く方法で考えると,下のようになりました.

任意の正数εをとり固定.
すると(①より)ある正数δが存在し
任意のx_nに対し
0<｜(x_n)-a｜<δ⇒｜f(x_n)-A｜<ε.

このδに対してx=x_nとすると(②の否定)より
0<｜x-a｜<δ⇒｜f(x)-A｜≧εを満たす
これは矛盾.よって①⇒②は成立.

自分でも違和感を感じるのですが、これであっているでしょうか.
どなたか、添削して解答を教えて頂けると有り難いです.どうかよろしくお願いします.