φ(x)=det(xI-A)（Iはn次単位行列、A=(aij)はn次正方行列）

このときφ'(x)はどのようになるのでしょうか？
自分の解答は定義より積の微分を利用して、
φ'(x)=Σ(i=1→n)|Bi|
Bは第i行目の成分がδij、それ以外はAと同じ。
というものになったのですが…。

またk階微分するとどうなるのでしょうか？