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面白い問題おしえて〜な 十二問目

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん2006/09/07(木) 07:00:00
面白い問題、教えてください
0951１３２人目の素数さん2007/06/24(日) 22:26:54
>>948>>950
やるぅー。
ところで>>948式は俺の頭ではどうにも導けそうにないんだが 。
教えて下せえ。ところどころ端折ってもいいんで。
0952１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 13:08:11
今、１億円の財産を持った一人と１０００万円の借金がある１０人が
輪になって座っています。　ここで、借金がある人は両隣の二人から
借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

さて、このときこのお布施を続けていくと全員が平等に無一文になってしまう
ことを証明してください。
0953１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 16:35:38
>>952
> 両隣の二人から借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

ｎ円の借金がある人は、両隣からそれぞれn円？ それともn/2円ずつ？

借金がある人の隣の人は借金してでも隣にお布施をするの？ それとも借金のない人だけ？
0954１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 16:46:04
>>953
両隣からそれぞれn円です。

借金がある人はそれが財産に化けるというむちゃくちゃな話ですが、、　
0955１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 17:29:41
>>954
なるほどわかった。

できればもう一つの質問にも答えていただきたい。
0956１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 17:42:43
>>955
借金がある人も借金を増やして隣の借金のある人にお布施をします。

ちなみにこの問題を一般的に考えると最先端の数学（表現論）ともつながっているそうです。
0957１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 17:45:02
ちょっと試してみたが、１億とマイナス一千万が１０人では全員がゼロになるが
合計がゼロならかならず全員がゼロになるというわけではないのだな‥
0958１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 19:00:49
>>957
すいません、問題に不備がありました。
合計が０という設定はまずかったです。

初期値の合計が０より大きいときいつかは全員の財産が
０以上になるようになるっていうふうに訂正します。

ヒントは不変量　
0959１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 21:36:14
金のやり取りの操作が線型である以上
収束先が固有値で決まるのは自明だろう
0960１３２人目の素数さん2007/06/30(土) 21:48:12
線型かどうかは重要なのかなあ。
問題の中では明言されてないけど、それぞれが財産を出来るだけ増やそうとしていたらどうなんだろ。
0961１３２人目の素数さん2007/07/01(日) 01:55:02
これ、IMOの過去問で見た事あるぞ
0962１３２人目の素数さん2007/07/01(日) 02:05:49
>>959
必ず収束するのか？
0963１３２人目の素数さん2007/07/01(日) 04:58:46
問題。
20桁(20桁に満たない数は先頭ゼロ埋めで20桁にする)の非負整数の中で
以下の条件を満たすものはいくつあるか？
上位10桁と下位10桁をそれぞれ10桁の数とみなして
この二つを足して自乗すると、元の数になる。
0964１３２人目の素数さん2007/07/01(日) 05:12:21
>952の問題の意味がよくわからんのだけど
借金がある人はお布施を受けることができるっていうのは
借金がある人全員が一斉に受け取る操作を繰り返すの？
つまり
初期段階：
　一人が100000000　のこり十人が-10000000
時刻１：
　100000000円の人は80000000に
　その両隣の人は0
　残り八人は-10000000
・・・みたいな感じで時刻を十分に進めるとどうなるかを考えるの？

それとも「十一人のうちの誰か一人がお布施を要求する」という現象が
十分多い有限の回数起こると借金持ちが必ず消えるっていうのを示すの？
0965１３２人目の素数さん2007/07/01(日) 10:18:57
>>964
初期値の合計は０より大きくしないといけないので借金１０００万円の人数は９人にしてください。

借金持ちを任意に一人選んで、その両隣からお金を奪ってプラスにするってこと

y<0 、（ｘ、ｙ、ｚ）→（ｘ+y、-ｙ、ｚ+y）　なる変換を負の値を適当に選んで
繰り返していくといつか全部０以上になるっていうことです。

上の変換で変化するある量を計算して背理法を使うと簡単に示せます。
0966 ◆BhMath2chk 2007/07/03(火) 17:00:01
ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｘ（ｋ）。

Σ＿｛０≦ｉ＜ｎ，０＜ｋ＜ｎ｝（（Σ＿｛０≦ｊ＜ｎ｝（ｘ（ｉ＋ｊ）））＾２）。
0967１３２人目の素数さん2007/07/03(火) 20:28:47
lim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]kx^(k^2)＝1/2を示せ。
0968１３２人目の素数さん2007/07/04(水) 00:08:35
>963
今ちょっと考えたけど
0と1、それに99999999980000000001　があてはまるね
これは20桁以外でも常に同様のことが言える

また4桁の場合で同じ問題を考えると
まず上に挙げたように0、1、9801　が条件を満たす
もし他に条件を満たすものがなかったら
「任意の偶数桁でこの三つだけが条件を満たす」とか予想したくなるけど
実際には
2025，3025
がさらに存在していて、どうやら桁数2nのとき、nの値固有の形の解とかが色々出て来そう
0969１３２人目の素数さん2007/07/04(水) 00:55:36
10^10以下の平方数が幾つあるか、
またそれらを二数の和にする方法が何通りあるか、
ということだと思うよ。
09709692007/07/04(水) 00:58:50
違うね、しばらくROMるわorz
0971１３２人目の素数さん2007/07/04(水) 01:13:32
よし、俺もROMるわ
0972W.K.B.2007/07/04(水) 03:53:06
>967

極大点（鞍点?）のまわりで放物線近似する。つまり正規分布近似だな。
　log{kx^(k^2)} = -|log(x)|(k^2) + log(k) ≒ -(1/2)log(2e|log(x)|) - {k√(2|log(x)|) -1}^2,
-∞<k<∞ で和分する
0973１３２人目の素数さん2007/07/04(水) 11:00:00
三百日四時間。
0974１３２人目の素数さん2007/07/04(水) 13:08:46
>>972
正規分布近似なんて知らないお(　＾ω＾)

an＝√n (nは平方数), 0 (それ以外)
と定義すると、この数列はチェザロのC-1総和法で1/2に収束する。すなわち、
lim[n→∞](a1＋a2＋…＋an)/n＝1/2 が成り立つ。よって特に、アーベル総和法
でも1/2に収束する。すなわち、lim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]akx^k＝1/2が
成り立つ。この式はlim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]kx^(k^2)＝1/2を意味する。
0975１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 00:18:48
>>968
(x+y)(x+y-1)=999999999x
0976１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 02:34:35
>972

σ = μ/√2 = 1/{2√(Log|x|)} とおくと
k･x^(k^2) ≒ {√(2/e)}σ･exp{-[(k-μ)^2/(2σ^2)]}
０<k<∞ で積分して
　Σ[k=1,∞) k･x^(k^2) ≒ (2/√e)σ^2･∫[-1,∞) exp(-t^2)dt
　= (3.2661…/√e)σ^2
　= 1.9810…σ^2
　= 0.49525… / Log|x|,
　Lim[x→1-0] (1-x)Σ k･x^(k^2) → 0.49525…
微妙にズレてまつね…
0977１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 09:32:37
>>963
なかなか面白い

x=10^10a+b (0≦a,b<10^10)とする
(a+b)^2=10^10a+b<10^20より、0≦a+b<10^10である。
(a+b){10^10-(a+b)}=(10^10-1)b、さらにちょっと変形して
(a+b){(10^10-1)-(a+b-1)}=(10^10-1)b
よって(a+b)(a+b-1)≡0 (mod. 10^10-1)
10^10-1=3^2*11*41*271*9091と素因数分解されるが、
a+b,a+b-1は互いに素なので、9,11,41,271,9091を振り分けることになる
これらを振り分けた積をそれぞれp,qとすれば、
p,q≠1のとき、中国剰余定理より
a+b≡0 (p), a+b≡1 (q) となるa+bがmod. 10^10-1で丁度1つある
このとき、a+b≠0だから、a+bは1つとなる
q=1とすればa+b=0,10^10-1であり、p=1とすればa+b=1となる
a+b≧1のとき、
(a+b){(10^10-1)-(a+b-1)}-(10^10-1)(a+b)=-(a+b)(a+b-1)≦0
であるから、実際に(a,b)をとることが可能である
a+b=0なら、a=b=0でOK
以上から、2^5+1=33(通り)
0978１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 09:38:12
最後a+b=0分ける必要なかったな、a+b≧0で整数だから)-(a+b)(a+b-1)≦0
で良かった
0979１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 18:47:39
5a+3b　(a,bは0以上の整数)　で表すことのできない最大の数は
なに？
0980１３２人目の素数さん2007/07/05(木) 18:59:08
最大の整数なら７
0981１３２人目の素数さん2007/07/06(金) 07:00:00
三百二日。
0982１３２人目の素数さん2007/07/06(金) 09:10:00
面白い問題おしえて〜な 十三問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
0983１３２人目の素数さん2007/07/06(金) 10:22:16
>>982
乙枯れ
0984１３２人目の素数さん2007/07/06(金) 16:50:15
埋めたる
0985１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:18:00
0707070707
0986１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:24:41
>>985
さて、誰が取るか？
0987１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:31:06
やはり、ここは華麗に１０００を2007/07/07 07:07:07でとっておきたいものだが。
どうしたらよいものか。
0988１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:34:52
過疎スレだから案外かなうんじゃないか？
0989１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:42:49
別に私がとれなくとも良い。誰かが取れれば。
その場合、果たして999まで埋めてしまうのは得策だろうか。
数うちゃあたる戦法で出来るだけ残しておいたほうがよいだろうか。
しかし、現在このスレを見ている何人がそれを狙っているのか。
それがあまりに少ない場合、それは裏目になるはずだ。
0990１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:44:19
同一IPで続けてかけるのは５レス程度らしいから
いまのままだと時刻までに埋まりきらない可能性もあるな
0991１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:46:40
それはつまり>>995において我々の夢は儚く散るということか？
0992１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 06:52:13
おいらも参加すれば叶うかもしれないお(　＾ω＾)
0993１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:00:00
三百三日。
0994１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:02:01
リハーサル
2007/07/07 07:07:07
09959942007/07/07(土) 07:02:46
誤差1秒
0996１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:03:00
三百三日三分。
0997１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:06:00
三百三日六分。
0998１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:06:22
なんと、ゴルゴを彷彿とさせる正確さ。ここは>>996,7に依頼すべきか。
0999１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:09:01
三百三日九分。
1000１３２人目の素数さん2007/07/07(土) 07:09:44
ゴルアアアア
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