>>746 の二問目

題意より α>1, β>1.
　M = {1,2,…,m} ⊂ N
とおく。
　A∩M = { [nα] | n∈M },　#(A∩M) = [m/α],
　B∩M = { [nβ] | n∈M },　#(B∩M) = [m/β],
　m/α + m/β = m
と無理数性より
　[m/α] + [m/β] = m-1,
mについての帰納法で…