>>746後半

(A∪B＝Nであること)
任意のk∈Nに対し、k∈Aまたはk∈Bが成り立つことを示せばよい。k∈Aのときは それでよいから、
k∈/Aのときを考える。iα＜kを満たすi∈Nのうち最大のものをnとすれば、nα＜k,k＋1≦(n＋1)α
が成り立つ(k＋1＞(n＋1)αならばk∈Aとなってしまう)。この不等式をαで割ってn＜k/α,
(k＋1)/α≦n＋1となる。1/α＋1/β＝1より、n＜k(1−1/β),(k＋1)(1−1/β)≦n＋1 となる。
これを変形してk＜(k−n)β≦(k＋1) となり、βが無理数であることからk＜(k−n)β＜(k＋1)
となり、よって[(k−n)β]＝kとなる。すなわちk∈Bとなる(α＞1なのでk−n＞0であることに注意)。

(A∩B＝φであること)
k＝[nα]＝[mβ]とすると、k＜nα＜k＋1,k＜mβ＜k＋1 が成り立つ(α,βは無理数だから等号は入らない)。
よってk/α＜n＜(k＋1)/α,k/β＜m＜(k＋1)/β が成り立つ。片々足してk＜n＋m＜k＋1となるが、k,n＋m,k＋1は
全て自然数だから矛盾。