>>747　のヒントで方針はわかった気がする。

まず、1番目の囚人が (右から) 1番目のカードをめくる。
出た数を　n_1 として、それが1でないなら次に n_1番目のカードをめくる。
以後、 k番目にはk-1番目に出た値 n_(k-1)　番目のカードをめくり、
出た値　n_k を元に次をめくる。これを1が出るまで行う。
(必ず1に行き着く説明は省略)
1をめくった後は、ルールに従うと　1番目のカードに戻るので、
このルールでカードを選んでいくとループする。

さて、そのような同じループに属するカードごとに、
200枚のカードをグループ分けできる。(各グループに重複はない)
最初にm番目を開いたとき、mを見つけるまでにカードをめくる回数は、
m番目のカードが属するグループのサイズに等しい。

よって、200枚のカードを分割するいくつかのグループの
いずれのサイズも100以下であれば、囚人たちはこの方針でクリアできる。

ただ、そうなる確率の算出方法がわからない...。