本調べたら往復論法は載ってたけど
前のほうから読まないといけなさそうなので読む気が起きん。。

「最初の有理数」というのは当然 i が一番小さいという意味だよね。

>>518
何にどういう文字を当ててるか分からんけど
この場合OKでしょ。

条件を満たさないものがあったら、条件を満たすようなもののうち
「一番上にあるもの」と入れ替えていくことにする。入れ替えは上から順に行っていく。
この操作を繰り返して得られる写像をs: N → Q∩[0, 1]とする。
操作をk回繰り返せばs_1からs_kまでは確定するから s は最初の r を
定めればきちんと定義されている。

全写なことと単写なことを別々に確かめればよい。
単写なのは定義から明らか。

全写なのは背理法で示す。sによってr_i∈Q∩[0, 1]に対応する自然数が無かったとしよう。
このようなr_iたち同士の順序（上にあるか下にあるか）は操作によって変わらない。
このような i のうちで最小のものxを取る。
r_xは十分多くの操作（N回とする）が行われた後には
N + 1番目（未定義のr_iたちのなかで一番上）に来ている。
これ以降のM回目（M>N）の操作では必ず第M桁目が0となっていて
「条件を満たさないもの」となっている。
つまりr_xの小数表示はN + 1桁目以降は全て0。矛盾。