別スレで質問したんですが回答がないのでこちらで質問させて下さい

実数全体で定義された実数値をとる関数f[x],g[x]が任意の実数a,bに対し
f[a+b]=f[a]g[b]+f[b]g[a]　　　f[a-b]=f[a]g[b]-f[b]g[a]
を満たす

[1]f[0]=0を求めさせる問い
[2]任意の実数x.hに対してf[x+2h]-f[x]=2f[h]g[x+h]が成り立つことの証明
[3]f[x]がx=0で微分可能なときf'[x]をf'[0]とg[x]で表せ

の[3]についてf'[x]=f'[0]g[x]と答は出せたんですがその過程でg[x]が連続であることを利用してるのに
解答では触れてません。これは明示する必要ないんでしょうか？
それとg[x]が連続である証明はどうすればいいんでしょうか